Математика ЕНТ — тесты онлайн

Тангенс определён при cos 3x ≠ 0: 3x ≠ π/2 + πk, откуда x ≠ π/6 + πk/3, k ∈ ℤ. Слагаемое 8 область определения не меняет.

sin x < 0 в III и IV четвертях, tg x < 0 во II и IV. Общая для обоих условий IV четверть.

Общий знаменатель: (7x(5 − x) + 7x²)/(5 − x) = (35x − 7x² + 7x²)/(5 − x) = 35x/(5 − x).

Так как √(a²) = |a| и √5 < 5: |√5 + 5| + |√5 − 5| = (5 + √5) + (5 − √5) = 10.

Пределы интегрирования 2 и 5. Первообразная равна (1/4)·ln|4x − 5|, поэтому интеграл = (1/4)(ln 15 − ln 3) = (1/4)·ln 5 = 0,25·ln 5.

Отрицательные члены b₂, b₄, b₆, ... = −2, −1/2, −1/8, ... образуют бесконечно убывающую прогрессию с первым членом −2 и знаменателем q² = 1/4. S = −2/(1 − 1/4) = −8/3.

Производная сложной функции: (sin 8x)′ = 8cos 8x, а (3x²)′ = 6x. Поэтому f′(x) = 8cos 8x − 6x.

Длина отрезка на координатной прямой равна модулю разности координат: |23 − (−17)| = 40.

Угол BCD опирается на диаметр, значит BD - диаметр и ∠BAD = 90°. В прямоугольном треугольнике ABD: AD = BD·cos 30° = 2R·√3/2 = R√3. Из R√3 = 8√3 получаем R = 8.

ОДЗ: x > 3. Тогда (x − 3)(x + 3) = 10x + 2, x² − 10x − 11 = 0, x = 11 или x = −1. Корень x = −1 не входит в ОДЗ, остаётся x = 11.

Возводим обе части в квадрат: x³ + 44 = 169, x³ = 125, x = 5.

Приводим к основанию 5: 5^(−6x−9) = 5^(3/4) · 5^(−6x+4) = 5^(−6x+19/4). Показатели совпали бы при −9 = 19/4, что неверно при любом x. Корней нет.

3·9^x − 7·49^x ≥ 4·21^x. Делим на 49^x и берём t = (3/7)^x > 0: 3t² − 4t − 7 ≥ 0, откуда t ≥ 7/3. Тогда (3/7)^x ≥ (3/7)^(−1), а так как основание меньше 1, x ≤ −1.

Чтобы решить уравнение 7x - 2y + 14 = 0 для заданных пар чисел (4; a) и (b; 4) , подставим обе пары чисел по очереди. 1. Для первой пары (4; a) : 7 · 4 - 2a + 14 = 0 28 - 2a + 14 = 0 42 - 2a = 0 2a = 42 a = 21 2. Для второй пары (b; 4) : 7b - 2 · 4 + 14 = 0 7b - 8 + 14 = 0 7b + 6 = 0 7b = -6 b = -6/7 Теперь мы знаем, что a = 21 и b = -6/7 . Теперь найдем значение выражения a · b : a · b = 21 · (-6/7) = -126/7 = -18 Правильный ответ: –18.

cos φ = (c·d)/(|c|·|d|) = (0·2 + 1·0 + 2·1)/(√5·√5) = 2/5 = 0,4, значит φ = arccos 0,4.

Группируем: x⁴(x² − 4x + 3) + (x² − 4x + 3) = (x⁴ + 1)(x − 1)(x − 3). Множитель x⁴ + 1 > 0 корней не имеет, поэтому целых корней два: 1 и 3.

Из первого неравенства x² ≤ 64, то есть −8 ≤ x ≤ 8; из второго x² < 49, то есть −7 < x < 7. Общая часть: (−7; 7).

Всего 15 шаров. После первого шара остаётся 14, из них того же цвета 4, поэтому P = 4/14 = 2/7.

Площадь основания по формуле Герона: p = 19, S = √(19·7·7·5) = 7√95 см². Объём V = (1/3)·S·h = (1/3)·7√95·6 = 14√95 см³.

1/(1 + tg²5α) = cos²5α и 1/(1 + ctg²5α) = sin²5α, поэтому сумма равна cos²5α + sin²5α = 1.

Переносим −2 влево: (x−1)/(3−x) + 2 = (5−x)/(3−x) ≤ 0, то есть (x−5)/(x−3) ≤ 0. По методу интервалов x ∈ (3; 5]: x = 5 входит (числитель равен нулю), x = 3 исключён (знаменатель).

Большее число (84 + 8)/2 = 46, меньшее (84 − 8)/2 = 38.

Два случая: 5x − x² = 6 даёт x² − 5x + 6 = 0, x = 2 и x = 3; 5x − x² = −6 даёт x² − 5x − 6 = 0, x = 6 и x = −1. Сумма корней 2 + 3 + 6 − 1 = 10.

Раскрываем модули изнутри: |−5| = 5; |5 − 10| = 5; |5 − 15| = 10.

Поверхность правильного октаэдра состоит из 8 равносторонних треугольников со стороной a: S = 8 · a²√3/4 = 2√3·a² = 2√3 · 15² = 450√3 см².

Для sin 5x < −1/2 положим t = 5x: −5π/6 + 2πn < t < −π/6 + 2πn. Делим на 5: −π/6 + 2πn/5 < x < −π/30 + 2πn/5.

(cos x)′ = −sin x, (ctg x)′ = −1/sin²x, поэтому f′(x) = −3·(−sin x) + 5·(−1/sin²x) = 3sin x − 5/sin²x.

Диагональ перпендикулярна стороне, а противоположная сторона ей параллельна, поэтому диагональ является высотой параллелограмма: h = 10. S = 8 · 10 = 80.

Общая часть начинается с наибольшей левой границы 0 (она включена в [0; 8) и лежит в остальных промежутках) и заканчивается наименьшей правой границей 5 (включена в [−1; 5]). Пересечение: [0; 5].

Обозначим a = x − y, b = y − z, c = z − x. Так как a + b + c = 0, то a³ + b³ + c³ = 3abc, и дробь равна 3abc/(abc) = 3.