Математика ҰБТ — тест сұрақтары жауаптарымен

Барлық логарифмді 2 негізіне келтіреміз: log_(1/2) x = −log₂x, log_(√2) x = 2·log₂x. Сонда log₂x + log₂x − 2log₂x = 0 теңдігі x > 0 болатын кез келген x үшін орындалады, яғни шешімі (0; ∞).

S₅ = b₁(1 − q⁵)/(1 − q) = 7·(1 + 32)/(1 + 2) = 7·33/3 = 77.

2^(2x+1) = 2·(2^x)², сондықтан t = 2^x десек: 2t² − 10t + 8 < 0, t² − 5t + 4 < 0, 1 < t < 4. Онда 1 < 2^x < 4, яғни 0 < x < 2.

−1 ≤ sin(x/7) ≤ 1, сондықтан −4 ≤ 4sin(x/7) ≤ 4. Барлық бөлікке −9 қосамыз: −13 ≤ y ≤ −5, яғни мәндер жиыны [−13; −5].

Теңдеудің екі жағын 9^x-ке бөлеміз: 3·(2/3)^(2x) − 5·(2/3)^x + 2 = 0. t = (2/3)^x десек, 3t² − 5t + 2 = 0, t = 1 немесе t = 2/3, яғни x = 0 және x = 1. Түбірлер қосындысы 0 + 1 = 1.

∠BCD диаметрге сүйенеді, яғни BD - диаметр, ∠BAD = 90°. ABD тікбұрышты үшбұрышында AD = BD·cos30° = 2R · √3/2 = R√3. R√3 = 8√3 болғандықтан R = 8.

tg 3x функциясы cos 3x ≠ 0 болғанда анықталған: 3x ≠ π/2 + πn, сондықтан x ≠ π/6 + πn/3, n ∈ ℤ.

Модуль анықтамасы бойынша 2024 − x = 1 немесе 2024 − x = −1, осыдан x = 2023 және x = 2025.

b₁ = 3/2, q = (−1)/(3/2) = −2/3, |q| < 1. S = b₁/(1 − q) = (3/2)/(5/3) = 9/10 = 0,9.

x² + 4x + 13 = (x + 2)² + 9 ≥ 9 > 0 кез келген x үшін, сондықтан теңсіздіктің шешімі (−∞; +∞).

n! + (n − 1)! = (n − 1)!·(n + 1), ал (n + 1)! = (n + 1)·n·(n − 1)!, сондықтан сол жағы 1/n-ге тең. 1/n = 1/(3n − 16), n = 3n − 16, n = 8.

Радиустар R = 16/2 = 8 см және r = 6/2 = 3 см. Жасаушы l = √(h² + (R − r)²) = √(12² + 5²) = √169 = 13 см.

m² + 2mn + n² = (m + n)², сондықтан өрнек (m + n)² − 5² түрінде жазылады. Квадраттар айырмасы бойынша (m + n + 5)(m + n − 5).

MN векторының координаталары (5 − 2; 4 − 4; 5 − 1) = (3; 0; 4). Ұзындығы |MN| = √(3² + 0² + 4²) = √25 = 5.

Бірінші теңдеуден x = y + 3. Екіншіге қойсақ: 4(y + 3) + 7y = 1, 11y = −11, y = −1, x = 2.

Түбір астындағы көбейтінді: (3·8·2)/(7·21·9) = 48/1323 = 16/441. Сонда √(16/441) = 4/21.

Бірінші теңсіздіктен 2x < 10, x < 5; екіншіден x < 7; үшіншіден 9x > 9, x > 1. Ортақ шешімі 1 < x < 5, яғни (1; 5).

Алғашқы функция 6x³/3 = 2x³. Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша 2·2³ − 2·1³ = 16 − 2 = 14.

Проекцияның ұзындығы көлбеудің ұзындығы мен көлбеу және жазықтық арасындағы бұрыш косинусының көбейтіндісіне тең: 8√2 · cos45° = 8√2 · √2/2 = 8.

169x² = (13x)², 81y² = (9y)². Квадраттар айырмасының формуласы бойынша (13x)² − (9y)² = (13x − 9y)(13x + 9y).

Алымына квадраттар айырмасын қолданамыз: (x + 2)² − (x − 3)² = (x + 2 − x + 3)(x + 2 + x − 3) = 5(2x − 1). 2x − 1 қысқарады, нәтижесі 5.

Ортақ бөлімге келтіреміз: (sin3a·cosa − cos3a·sina)/(sina·cosa) = sin(3a − a)/((1/2)·sin2a) = sin2a/((1/2)·sin2a) = 2.

Дұрыс октаэдрдің беті 8 тең қабырғалы үшбұрыштан тұрады: S = 8 · a²√3/4 = 2√3·a² = 2√3 · 15² = 450√3 см².

d = (a₇ − a₃)/4 = (−8 − 12)/4 = −5, a₁ = a₃ − 2d = 22, a₅ = a₃ + 2d = 2. S₅ = (a₁ + a₅)/2 · 5 = (22 + 2)/2 · 5 = 60.

Жүйе: y = x² − 2 және x² = 4x + y. y-тің мәнін екінші теңдеуге қойсақ: x² = 4x + x² − 2, 4x = 2, x = 1/2. Сонда y = 1/4 − 2 = −7/4 = −1 3/4.

sin68° = sin(90° − 22°) = cos22° = cos(2·11°) = 2cos²11° − 1 = 2t² − 1.

sin x = a теңдеуінің шешімі x = (−1)^k · arcsin a + πk, k ∈ ℤ. arcsin(1/2) = π/6, сондықтан x = (−1)^k · π/6 + πk.

Модульдер теріс емес, сондықтан |2x + 2| + |x − 5| + 1 ≥ 1 > 0. Сол жағы ешқашан 0-ге тең болмайды, яғни теңдеудің шешімі жоқ.

Бұл сұрақты шешу үшін алдымен пойыздың жүретін арақашықтығын табамыз. 1. Алғашқы жылдамдық және уақыт: Пойыздың жылдамдығы 60 км/сағ, уақыт 10 сағат. - Арақашықтық = жылдамдық x уақыт = 60 км/сағ x 10 сағ = 600 км. 2. Жаңа жылдамдық: Пойыздың жылдамдығы 20 км/сағ-қа төмендейді. - Жаңа жылдамдық = 60 км/сағ - 20 км/сағ = 40 км/сағ. 3. Арақашықтықты жаңа жылдамдықпен табу: Біз алғашқында көргендей, арақашықтық 600 км. Ал жаңа жылдамдық 40 км/сағ. - Жаңа уақыт = арақашықтық / жаңа жылдамдық = 600 км / 40 км/сағ = 15 сағ. Демек, дұрыс жауап – 15 сағат.

b₄/b₂ = q² = 54/6 = 9, q = ±3. Прогрессия өспелі болғандықтан q = 3 (q = −3 болса, мүшелердің таңбасы кезектесіп отырады).